题目内容

已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若S4=10，S13=91．
（1）求Sn；
（2）若数列{Mn}满足条件：M1=St1，当n≥2时，Mn=Stn-Stn-1，其中数列{tn}单调递增，且t1=1，tn∈N*．
①试找出一组t2，t3，使得M22=M1•M3；
②证明：对于数列{an}，一定存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方．
考点：数列与函数的综合,数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）利用已知条件，列出方程组，直接求解首项与公差，然后求Sn；
（2））①通过M22=M1•M3，通过t2=2，3，4分别求解推出t3=13，即可．
②由①，推出一般的取tn=1+3+32+…+3n-1=
3n-1
2
，通过Mn=Stn-Stn-1，化简整理，得到Mn为一整数平方．
解答： 解：（1）设数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S4=10，S13=91，得
4a1+
4×3
2
d=10
13a1+
13×12
2
d=91
，…（2分）
解得
a1=1
d=1
，
所以Sn=na1+
n(n-1)
2
d=
n2+n
2
…（4分）
（2）①因为M1=S1=1，
若t2=2，M2=S2-S1=3-1=2，M3=St3-S2=
t3(t3+1)
2
-3，
因为M22=M1•M3，
所以
t3(t3+1)
2
-3=4，t3（t3+1）=14，此方程无整数解； …（6分）
若t2=3，M2=S3-S1=6-1=5，M3=St3-S3=
t3(t3+1)
2
-6，
因为M22=M1•M3，
所以
t3(t3+1)
2
-6=25，t3（t3+1）=62，此方程无整数解；…（8分）
若t2=4，M2=S4-S1=10-1=9，M3=St3-S4=
t3(t3+1)
2
-10，
因为M22=M1•M3，
所以
t3(t3+1)
2
-10=81，t3（t3+1）=182，解得t3=13，
所以t2=4，t3=13满足题意…（10分）
②由①知t1=1，t2=1+3，t3=1+3+32，则M1=1，M2=32，M3=92，
一般的取tn=1+3+32+…+3n-1=
3n-1
2
，…（13分）
此时Stn=
3n-1
2
(1+
3n-1
2
)
2
，Stn-1=
3n-1-1
2
(1+
3n-1-1
2
)
2
，
则Mn=Stn-Stn-1=
3n-1
2
(1+
3n-1
2
)
2
-
3n-1-1
2
(1+
3n-1-1
2
)
2
=(3n-1)2，
所以Mn为一整数平方．
因此存在数列{tn}，使得数列{Mn}中的各数均为一个整数的平方．…（16分）
点评：本题考查是与函数的综合应用，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知函数y=cos2x+2psinx+q有最大值6和最小值3，求实数p，q的值．
若三条直线l1：4x+y+4=0，l2：mx+y+1=0，l3：x-y+1=0不能围成三角形，则m的取值为（　　）
A、4或-1B、1或-1
C、-1或4D、-1，1，4
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1，CC1上，且C1F=
1
3
C1C，BE=λBB1，0＜λ＜1．
（1）当λ=
1
3
时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；
（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为
2
29
29
时，求λ的值．
在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的渐近线方程是y=±2x，且经过点（
2
，2），则该双曲线的方程是
 
．
在等差数列{an}中，若a3=2，a5=8，则S7等于（　　）
A、16B、18C、35D、22
已知向量
a
、
b
，|
a
|=1，|
b
|=1，＜
a
，
b
＞=
π
3
，则|
a
-
b
|=
 
．
函数y=loga（x+2）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，则m2+n2的最小值为
 
．
当x=
 
时，函数y=x2（2-x2）有最
 
值，且最值是
 
．

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