Question

已知x＞1，a＞

lnx

x-1

，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：x＞1，a＞

lnx

x-1

可转化为a＞0，lnx＜a（x-1）在x＞1恒成立，设曲线y=lnx与直线y=a（x-1）相切于点（m，n），
求出切点（1，0），再由图象观察即得a的范围．

解答： 解：∵x＞1，∴lnx＞0，x-1＞0，
∴a＞0，lnx＜a（x-1）在x＞1恒成立，
设曲线y=lnx与直线y=a（x-1）相切于点（m，n），
y′=

1

x

，则a=

1

m

，n=lnm，n=a（m-1），
解得m=1，n=0，即切点为（1，0）．
故a≥1时，不等式a＞

lnx

x-1

在x＞1恒成立．
故答案为：[1，+∞）

点评：本题考查不等式恒成立问题，转化为直线与曲线相切问题，同时考查数形结合的能力，属于中档题．