Question

7．有一个不透明的袋子，装有4个完全相同的小球，球上分别编有数字1，2，3，4．
（Ⅰ）若逐个不放回取球两次，求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除的概率；
（Ⅱ）若先从袋中随机取一个球，该球的编号为a，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为b，求直线ax+by+1=0与圆x²+y²=$\frac{1}{16}$没有公共点的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用（a，b）（a表示第一次取到球的编号，b表示第二次取到球的编号）表示先后二次取球构成的基本事件，求出所有的基本事件数，设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，求出A的个数，然后求解概率．
（Ⅱ）列出所有的基本事件，通过“直线与圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$没有公共的”为事件B，求出事件B包含的基本事件数，然后求解概率．

解答 解：（Ⅰ）用（a，b）（a表示第一次取到球的编号，b表示第二次取到球的编号）表示先后二次取球构成的基本事件，则所有的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）共12个．…（2分）
设“第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被3整除”为事件A，
则事件A包含的基本事件有：
（2，1），（2，4），（4，2）共有3个，…（4分）
∴P（A）=$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$．…（6分）
（Ⅱ）所有的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个，…（8分）
设“直线与圆${x^2}+{y^2}=\frac{1}{16}$没有公共的”为事件B，
由题意$\frac{1}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}＞\frac{1}{4}$，…（9分）
即a²+b²＜16，则事件B包含的基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）共8个，…（10分）
∴P（B）=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，直线与圆的位置关系的应用，圆的方程的综合应用，考查计算能力．