Question

19．已知F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左右焦点，G是C上一点，且满足$\frac{|G{F}_{1}|}{|G{F}_{2}|}$=9 则C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）
• B． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． （1，$\frac{5}{4}$）
• D． （1，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 设G点的横坐标为x₀，注意到x₀≥a．由双曲线第二定义得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，利用|GF₁|-9|GF₂|=0，可得a+ex₀=9（ex₀-a），x₀=$\frac{5a}{4e}$≥a，由此即可得出结论．

解答 解：由$\frac{|G{F}_{1}|}{|G{F}_{2}|}$=9可得G在右支上，
设G点的横坐标为x₀，注意到x₀≥a．
由双曲线第二定义得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，
∵$\frac{|G{F}_{1}|}{|G{F}_{2}|}$=9，
∴a+ex₀=9（ex₀-a），
∴x₀=$\frac{5a}{4e}$≥a，
∴1＜e≤$\frac{5}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了双曲线的定义、方程和性质，运用双曲线第二定义是解决问题的关键，考查运算能力，属于中档题．