Question

已知函数f（x）=

5

2

sinAsinx+cos2x（x∈R），且满足cos（A+

π

4

）=-

2

10

，A∈（

π

4

，

π

2

）
（1）求sinA的值；
（2求f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）直接利用三角函数关系式的变换求出函数的值．
（2）首先利用函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成二次函数的形式，进一步利用内函数的值域求出函数的最值．

解答： 解：（1）∵A∈（

π

4

，

π

2

），
∴A+

π

4

∈(

π

2

，

3π

4

)，
∴cos（A+

π

4

）=-

2

10

，
sin(A+

π

4

)=

7 2

10

，
故sinA=sin[（A+

π

4

）-

π

4

]=

4

5

；
（2）f（x）=2sinx+cos2x=2sinx+1-2sin²x=-2(sinx-

1

2

)2+

3

2

，x∈R．
则：sinx∈[-1，1]，
当sinx=

1

2

时，函数f（x）的最大值为

3

2

．

点评：本题考查的知识要点：利用三角函数的关系式求函数的值，三角函数关系式的恒等变换，复合函数的最值问题．属于基础题型．