Question

12．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1．记S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₀=5100．

Answer 1

分析 a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，可得n为偶数时，a_n+2+a_n=1．n为奇数时，a_n+2-a_n=1．是公差为1的等差数列．利用分组求和S₂₀₀=（a₁+a₃+…+a₁₉₉）+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₁₉₈+a₂₀₀）]，即可得出．

解答 解：∵a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，∴n为偶数时，a_n+2+a_n=1．
n为奇数时，a_n+2-a_n=1．是公差为1的等差数列．
∴S₂₀₀=（a₁+a₃+…+a₁₉₉）+[（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₁₉₈+a₂₀₀）]
=100×1+$\frac{100×99}{2}×1$+50
=5100．
故答案为：5100．

点评 本题考查了递推关系与等差数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．