Question

2．P是椭圆C：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的动点，以P为切点作椭圆C的切线l，交圆x²+y²=4于A，B两点，当△ABO的面积最大时，直线l的斜率k=（　　）

• A． ±1
• B． $±\sqrt{2}$
• C． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $±\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得原点O到AB的距离d．|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$，可得S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{|m|\sqrt{4（1+{k}^{2}）-{m}^{2}}}{1+{k}^{2}}$．直线l的方程与题意方程联立化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由△=0，可得m²=4k²+1．可得S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，令1+k²=t≥1．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：由题意可设直线l的方程为：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则原点O到AB的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{R}^{2}-{d}^{2}}$
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{1}{2}$×$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$×$\frac{2\sqrt{4（1+{k}^{2}）-{m}^{2}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|m|\sqrt{4（1+{k}^{2}）-{m}^{2}}}{1+{k}^{2}}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=0，∴m²=4k²+1．
∴S_△OAB=$\frac{\sqrt{3}\sqrt{1+4{k}^{2}}}{1+{k}^{2}}$，令1+k²=t≥1．
则S_△OAB=$\sqrt{-9（\frac{1}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+4}$≤2，
当且仅当t=$\frac{3}{2}$=1+k²，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴直线l的斜率为：$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与相交弦长问题、二次函数的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．