Question

若关于x的不等式3 2log3x+|x²-x|≤ax的解集为空集，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由对数的运算性质化简，然后讨论去绝对值，再根据所得不等式的解集为空集列式求得a的范围．

解答： 解：由3 2log3x+|x²-x|≤ax，得x²+|x²-x|≤ax，（x＞0），
关于x的不等式3 2log3x+|x²-x|≤ax的解集为空集，
即x²+|x²-x|≤ax，（x＞0）的解集为空集，
当

x＞0 x2-x≥0

，即x≥1时，不等式x²+|x²-x|≤ax化为2x²-（a+1）x≤0，
方程2x²-（a+1）x=0的两根为0，

a+1

2

，
要使不等式2x²-（a+1）x≤0大于等于1的解集为空集，则

a+1

2

＜1，即a＜1；
当

x＞0 x2-x＜0

，即0＜x＜1时，不等式x²+|x²-x|≤ax化为（a-1）x≥0．
要使不等式（a-1）x≥0大于0小于1的解集为空集，则a-1＜0，即a＜1．
综上，满足关于x的不等式3 2log3x+|x²-x|≤ax的解集为空集的实数a的取值范围为{a|a＜1}．
故答案为：{a|a＜1}．

点评：本题考查了指数不等式和对数不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．