在直角坐标系xoy中.直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$.以原点O为极点.x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos$．(1)求曲线C的直角坐标方程.并指出其表示何种曲线,(2)设直线l与曲线C交于A.B两点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．在直角坐标系xoy中，直线的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）$．
（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，若点P的直角坐标为（1，0），试求当$α=\frac{π}{4}$时，|PA|+|PB|的值．

分析（1）曲线C₂：$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可以化为${ρ^2}=2\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）$，ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，可得曲线C的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（2）当$α=\frac{π}{4}$时，直线的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（为参数），利用参数的几何意义求当$α=\frac{π}{4}$时，|PA|+|PB|的值．

解答解：（1）曲线C₂：$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可以化为${ρ^2}=2\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）$，ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
因此，曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x+2y=0…（4分）
它表示以（1，-1）为圆心、$\sqrt{2}$为半径的圆．　 …（5分）
（2）当$α=\frac{π}{4}$时，直线的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（为参数）
点P（1，0）在直线上，且在圆C内，把$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$
代入x²+y²-2x+2y=0中得${t^2}+\sqrt{2}t-1=0$…（6分）
设两个实数根为t₁，t₂，则A，B两点所对应的参数为t₁，t₂，
则${t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}$，t₁t₂=-1…（8分）∴$|PA|+|PB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{6}$…（10分）