Question

 如图，已知底面圆半径为4的圆锥SO中，S为顶点，O为底面圆心，SB、SC是母线，∠BOC=120°，作OA⊥SC于A点，若将△SAO绕轴旋转一周所得几何体的体积是圆锥SO体积的

1

4

．
（Ⅰ）求圆锥SO的体积；
（Ⅱ）在△SAO绕轴SO旋转一周过程中（此时C点不动），求二面角A-OB-C余弦值的取值范围．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：

分析：（Ⅰ）先求出由A点旋转形成的截面圆的半径，可得A为SC的中点，从而可求圆锥SO的体积；
（Ⅱ）分类讨论，当A∈平面SOB时，二面角A-OB-C余弦值为0；当A∉平面SOB时，作出二面角A-OB-C的平面角，再求二面角A-OB-C余弦值的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）记由A点旋转形成的截面圆为圆O₁，则
∵将△SAO绕轴旋转一周所得几何体的体积是圆锥SO体积的

1

4

，
∴

O1A2

OC2

=

1

4

，
∵OC=4，
∴O₁A=2，即A为SC的中点，
∴圆锥SO的体积

1

3

•π•43=

64

3

π；
（Ⅱ）在△SAO绕轴SO旋转一周过程中，当A∈平面SOB时，平面ABO⊥平面BOC，此时二面角A-OB-C余弦值为0；
当A∉平面SOB时，作AH∥SO，∴AH⊥圆O，作HM⊥BO交BO延长线于M，连接AM，则AH⊥OM，
∵HM∩AH=H，∴BO⊥平面AHM，∴BO⊥AM，
记二面角A-OB-C的大小为θ，则θ=∠AMH或π-∠AMH．
在Rt△AHM中，AH=

1

2

SO=2，H到线段BO的距离d∈（0，2]，
∴|cosθ|=cos∠AMH=

d

4+d2

=

1 4 d2 +1

∈（0，

2

2

]，
综上所述，二面角A-OB-C余弦值的取值范围为[-

2

2

，

2

2

]．

点评：本题考查圆锥的体积，考查二面角A-OB-C余弦值的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．