Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{{a_n}-{a_{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{n（n+1）}$（n∈N^*），则a_n=$\frac{n}{3n-2}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式裂项变形，然后利用累加法求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由$\frac{{{a_n}-{a_{n+1}}}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{2}{n（n+1）}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}）+（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-2}}）+…+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}）+\frac{1}{{a}_{1}}$
=2[（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）+（$\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n-1}$）+…+（1-$\frac{1}{2}$）]+1
=2（1-$\frac{1}{n}$）+1=$\frac{3n-2}{n}$，
∴${a}_{n}=\frac{n}{3n-2}$．
故答案为：$\frac{n}{3n-2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的通项公式，是中档题．