Question

10．已知关于x不等式y=log₂（x²-a|x|+3）≥1恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，2]．

Answer 1

分析 由题意：y=log₂（x²-a|x|+3）≥1恒成立，等价于x²-a|x|+3）≥2，分离常数法求解即可得实数a的取值范围．

解答 解：由题意y=log₂（x²-a|x|+3）≥1恒成立，等价于x²-a|x|+3）≥2恒成立；
当x=0时，x²-a|x|+3）≥2恒成立．
当x≠0时，则有：x²+1≥a|x|，∴$a≤\frac{{x}^{2}+1}{|x|}$
∵$\frac{{x}^{2}+1}{|x|}=\frac{|x{|}^{2}+1}{|x|}=|x|+\frac{1}{|x|}$≥2．当且仅当x=±1时取等号．
故得a≤2恒成立．
所以实数a的取值范围为（-∞，2]．
故答案为（-∞，2]．

点评 本题考查了对数函数的运算以及基本不等式的运用．属于中档题．