Question

1．若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 8
• B． 16
• C． 1
• D． 20

Answer 1

分析 由题意可得直线经过圆心，可得4a+b=1，再由乘1法和基本不等式计算，即可得到所求最小值．

解答 解：由直线始终平分圆的周长，可得直线l经过圆的圆心（-4，-1），
即有-4a-b+1=0，即4a+b=1，
又a＞0，b＞0，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（4a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）
=8+$\frac{b}{a}$+$\frac{16a}{b}$≥8+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{16a}{b}}$=16．
当且仅当b=4a=$\frac{1}{2}$时，取得最小值16．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意运用乘1法和等号成立的条件，同时考查直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．