Question

11．数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2a_n-1．数列{b_n}满足b_n=a_n+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，计算即可得到所求数列的通项公式；
（2）求得b_n═2^n-1+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=2^n-1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-1，可得n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1；
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），
即有a_n=2a_n-1，则a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（2）b_n=a_n+$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=2^n-1+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=2^n-1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
则数列{b_n}的前n项和为（1+2+…+2^n-1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=2ⁿ-1+$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，注意运用数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，考查数列的求和方法：裂项相消求和和分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．