Question

6．在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，D为BC边上的点且2BD=DC，则|AD|=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{37}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{35}}}{3}$

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理求出BC和cos∠ABC，由2BD=DC求出BD，在△ABD中由余弦定理求出AD．

解答 解：如图所示：
∵在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60°，
∴由余弦定理得，BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC
=4+9-2×$2×3×\frac{1}{2}$=7，
则BC=$\sqrt{7}$，
由余弦定理得，cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2•AB•BC}$=$\frac{4+7-9}{2×2×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，
由2BD=DC得，BD=$\frac{1}{3}BC$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠DBA
=4+$\frac{7}{9}$-$2×2×\frac{\sqrt{7}}{3}×\frac{\sqrt{7}}{14}$=$\frac{37}{9}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{37}}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查化简、计算能力，是中档题．