Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于M（

3π

4

，0）对称，且在区间[0，

π

2

]上是单调函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求函数y=

-f(x)- 1 2

的定义域．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由f（x）为偶函数，求得φ=

π

2

．由图象关于M（

3π

4

，0）对称，可得cos

3πω

4

=0，求得ω=

2

3

（2k+1），k∈z．再根据f（x）在[0，

π

2

]上是单调函数，可得ω≤2，从而求得ω和φ的值．
（2）由函数f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，令2π-π≤2x≤2kπ，求得x的范围，可得函数的单调增区间．
（3）先求得y=

-f(x)- 1 2

=

-cos2x- 1 2

，由-cos2x-

1

2

≥0，可解得cos2x≤-

1

2

，从而由余弦函数的图象和性质可得函数y=

-f(x)- 1 2

的定义域．

解答： 解：（1）∵f（x）为偶函数，∴f（0）=sinφ=±1，∵0≤φ≤π，∴φ=

π

2

．
又∵图象关于M（

3π

4

，0）对称，∴cos

3πω

4

=0，∴

3πω

4

=kπ+

π

2

，k∈z，
∴ω=

2

3

（2k+1），k∈z．
又∵f（x）在[0，

π

2

]上是单调函数，∴

2π

ω

≥π，∴ω≤2．
∴当k=1时，ω=2，可得 φ=

π

2

，ω=2．
∴f（x）=sin（2x+

π

2

）．
（2）∵函数f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x．
由2π-π≤2x≤2kπ，求得 kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈z，
∴函数的单调增区间[kπ-

π

2

，kπ]，k∈z．
（3）∵y=

-f(x)- 1 2

=

-cos2x- 1 2

∴由-cos2x-

1

2

≥0，可解得cos2x≤-

1

2

∴由余弦函数的图象和性质可得：

2π

3

+2kπ≤2x≤

4π

3

+2kπ，k∈Z，即有：

π

3

+2kπ≤x≤

2π

3

+2kπ，k∈Z
故函数y=

-f(x)- 1 2

的定义域为：[

π

3

+2kπ，

2π

3

+2kπ]，k∈Z

点评：本题主要考查正弦函数的图象和性质，余弦函数的单调性，函数定义域的求法，属于基本知识的考查．