椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点分别是F1.F2.右顶点为A.上顶点为B.坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$.椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)如果动直线l:y=kx+n与椭圆C有且只有一个公共点.点F1.F2在直线l上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，右顶点为A，上顶点为B，坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，椭圆的离心率是$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如果动直线l：y=kx+n与椭圆C有且只有一个公共点，点F₁，F₂在直线l上的正投影分别是P，Q，求四边形F₁PQF₂面积S的取值范围．

分析（Ⅰ）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．根据三角形OAB面积相等：$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，由△=0，4k²-n²+3=0，由F₁P⊥l，F₂Q⊥l，直角梯形F₁PQF₂中位线长d₁=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，点F₂（1，0）直线F₁P的距离d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d₁•d₂=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，则根据函数的单调性，即可求得四边形F₁PQF₂面积S的取值范围．

解答解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=2b²．
由坐标系原点O到直线AB的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
则$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{21}}{7}$•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}{a}^{2}}$，
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直线l与椭圆仅有一个公共点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8knx=4n²-12=0，
由△=0，4k²-n²+3=0，
由F₁P⊥l，F₂Q⊥l，
当①k≠0，在直角梯形F₁PQF₂中位线长d₁=$\frac{丨n丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
直线F₁P的方程为：x+ky+1=0，
点F₂（1，0）直线F₁P的距离d₂=$\frac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
${S}_{{F}_{1}PQ{F}_{2}}$=d₁•d₂=$\frac{2丨n丨}{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+3}{（1+{k}^{2}）^{2}}}$，
令t=3+4k²，
∴S=8$\frac{t}{2{t}^{2}+2t+1}$=8$\sqrt{\frac{1}{t+\frac{1}{t}+2}}$，
友t＞3，由双勾函数知S在t＞3上单调递减，
∴0＜S＜2$\sqrt{3}$，
②当k=0时，n=±$\sqrt{3}$，S=2$\sqrt{3}$，
综上所述：四边形F₁PQF₂面积S取值范围为（0，2$\sqrt{3}$]．