题目内容
20．如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作．第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形（如图①中阴影部分所示），并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形（如图②中阴影部分所示），同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作：连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；…，如此下去．记第n次操作中挖去的三角形个数为an．如a1=1，a2=3．
（1）求an；
（2）求第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn？
（3）求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn．
分析 （1）由题意知，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，进而可得an；
（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn，则{bn}是以$\frac{1}{4}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，进而可得第n次操作后，挖去的所有三角形面积之和Pn；
（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n•3n-1，利用错位相减法，可得挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Qn．
解答 解：（1）由题意知，数列{an}是以1为首项，以3为公比的等比数列，
所以an=3n-1．----------------------------------------（3分）
（2）记第n次操作中挖去的一个三角形面积为bn，
则{bn}是以$\frac{1}{4}$为首项，以$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，所以bn=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
故第n次操作中挖去的所有三角形面积为3n-1-$\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{4}（\frac{3}{4}）^{n-1}$，-----------------------（6分）
从而第n次操作后挖去的所有三角形面积之和Pn=$\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{3}{4}）^{n}]}{1-\frac{3}{4}}$=$1-{（\frac{3}{4}）}^{n}$．-----------（8分）
（3）由题意知，第n次操作中挖去的所有三角形上所贴标签上的数字之和为n•3n-1，-----（9分）
所以所有三角形上所贴标签上的数字的和Qn=1×1+2×3+…+n•3n-1，①
则3Qn=1×3+2×32+…+n•3n，②
①-②得，-2Qn=1+3+32+…+3n-1-n•3n=$\frac{{3}^{n}-1}{2}-n•{3}^{n}$，-----------------------------（13分）
故Qn=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n}+\frac{1}{4}$．---------------------------（16分）
点评 考查的知识点是等比数列的通项公式，前n项和公式，数列求和，难度中档．
中考解读考点精练系列答案| A． | 5，4 | B． | 6，4 | C． | 5，-4 | D． | 4，-4 |
学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分，规定满意度不低于98分，则评价该教师为“优秀”，现从某班学生中随机抽取10名，如图茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；