Question

3．已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15．若点P、Q分别是曲线C和直线l上的动点，则P、Q两点之间距离的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{21}$

Answer 1

分析 设P（3cosφ，2sinφ）（φ为参数），直线l的极坐标方程化为普通方程：x+2y-15=0．则点P到直线l的距离d=$\frac{|3cosφ+4sinφ-15|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（φ+θ）-15|}{\sqrt{5}}$，利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：设P（3cosφ，2sinφ）（φ为参数），
直线l的极坐标方程是ρ（cosθ+2sinθ）=15化为普通方程：x+2y-15=0．
则点P到直线l的距离d=$\frac{|3cosφ+4sinφ-15|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（φ+θ）-15|}{\sqrt{5}}$
≥$\frac{|5-15|}{\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$，当且仅当sin（φ+θ）=1时取等号，arctanθ=$\frac{3}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．