Question

给出以下四个结论：
①函数f（x）=

x-1

2x+1

的对称中心是（-

1

2

，-

1

2

）；
②若不等式mx²-mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则0＜m＜4；
③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，则2a+1＜3b；
④若将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位后变为偶函数，则Φ的最小值是

π

12

．其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：①函数f（x）=

x-1

2x+1

的对称中心应该是（-

1

2

，

1

2

）．
②若不等式mx²-mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则m=0满足题意；m≠0，可得

m＞0 △＜0

，解得0＜m＜4，即可判断出．
③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，可得（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，解出即可．
④若将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位化为f（x）=sin[2（x-Φ）-

π

3

]，
变为偶函数，则-2Φ-

π

3

=2kπ±

π

2

（k∈Z），解出即可．

解答： 解：①函数f（x）=

x-1

2x+1

的对称中心是（-

1

2

，

1

2

），因此不正确；
②若不等式mx²-mx+1＞0对任意的x∈R都成立，则m=0满足题意；m≠0，可得

m＞0 △＜0

，解得0＜m＜4，
因此m的取值范围是[0，4），因此不正确；
③已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x-3y+1=0两侧，则（2a-3b+1）（2-0+1）＜0，
则2a+1＜3b，正确；
④若将函数f（x）=sin（2x-

π

3

）的图象向右平移Φ（Φ＞0）个单位化为f（x）=sin[2（x-Φ）-

π

3

]
变为偶函数，则-2Φ-

π

3

=2kπ±

π

2

（k∈Z），当k=0时，-2Φ-

π

3

=-

π

2

，可得Φ的最小值是

π

12

．
其中正确的结论是③④．
故答案为：③④．

点评：本题考查了分式函数的中心对称性、一元二次不等式恒成立问题、点与直线的位置关系、三角函数的平移变换及其奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．