Question

设 圆与轴正半轴的交点为，与曲线的交点为，直线与轴的交点为．
（1）用表示和
（2）若数列满足 
（1）求常数的值，使得数列成等比数列；
（2）比较与的大小．

Answer 1

（1），；（2）当时，数列成公比为4的等比数列；当时，数列成公比为2的等比数列．．

试题分析：本题主要考查曲线与圆相交问题、直线的方程、等比数列的证明、利用导数判断函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，点N代入到曲线和圆中，联立得到，由于直线MN过M、A点，从而得到直线MN的方程，N点也在MN上，代入MN方程中，经整理得到的表达式；第二问，（ⅰ）利用等比数列的定义知为等比数列，利用等比数列的通项公式，经过化简得，利用的通项公式和为等比数列列出2个关系式，利用2个式子是q倍的关系，解出p和q的值；（ⅱ）利用可以猜想，即需要证，构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而确定，即，所以．
试题解析：（1）与圆交于点，则，即．由题可知，点的坐标为，从而直线的方程为，由点在直线上得，将，代入，
得 ,
 即              4分
（2）由知，为等比数列，由， 知，公比为4，故，所以                     5分
（1） 

令得
 
由等式
对于任意成立，得
 解得或                           8分
故当时，数列成公比为4的等比数列；
当时，数列成公比为2的等比数列．               9分
（2）由（1）知，当时，；当时， 事实上，令，则 故
是增函数，所以，即 
即 ．                                     14分