Question

在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c²=（2a-b）a+（2b-a）b．
（1）求角C的大小；
（2）求2cosA+2cosB的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）先化简已知等式，得到a²+b²-c²=ab，再由余弦定理，即可得到C；
（2）由C=

π

3

，则A+B=

2π

3

，可令A=

π

3

-α，B=

π

3

+α（-

π

3

＜α＜

π

3

），再由两角和差的余弦公式化简整理，根据余弦函数的性质，即可得到最大值．

解答： 解：（1）由2c²=（2a-b）a+（2b-a）b，
化简得，a²+b²-c²=ab，
则cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
由于0＜C＜π，则C=

π

3

；
（2）由C=

π

3

，则A+B=

2π

3

，
可令A=

π

3

-α，B=

π

3

+α（-

π

3

＜α＜

π

3

），
则2cosA+2cosB=2[cos（

π

3

-α）+cos（

π

3

+α）]
=2（

1

2

cosα+

3

2

sinα+

1

2

cosα-

3

2

sinα）
=2cosα，
由-

π

3

＜α＜

π

3

，则

1

2

＜cosα≤1，
当α=0，即A=B=C=

π

3

，2cosA+2cosB取得最大值2．

点评：本题考查余弦定理及运用，考查三角函数的化简，注意运用两角和差的余弦公式，考查余弦函数的性质，属于中档题．