Question

18．函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$（a＞0）的递增区间是当0＜a＜1时，复合函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$在（-∞，$\frac{3}{2}$]上为减函数；当a＞1时，复合函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$在（$\frac{3}{2}$，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 求出内函数的单调区间，然后对a分类，利用复合函数的单调性得答案．

解答 解：令t=3x-x²=-x²+3x，
对称轴方程为x=$\frac{3}{2}$，
当x∈（-∞，$\frac{3}{2}$]时，函数t=-x²+3x为增函数，
当x∈（$\frac{3}{2}，+∞$）时，函数t=-x²+3x为减函数，
∴当0＜a＜1时，复合函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$在（-∞，$\frac{3}{2}$]上为减函数；
当a＞1时，复合函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$在（$\frac{3}{2}$，+∞）上为增函数．
故答案为：当0＜a＜1时，复合函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$在（-∞，$\frac{3}{2}$]上为减函数；
当a＞1时，复合函数y=a${\;}^{（3x-{x}^{2}）}$在（$\frac{3}{2}$，+∞）上为增函数．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则增，一增一减则减，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．