Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，S_n=λa_n-2，其中λ为常数．
（Ⅰ）求λ的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+2}}}}$，数列{b_n}的前n项和T_n，求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）利用对数的运算性质、“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，S_n=λa_n-2，
当n=1时，a₁=λa₁-2，∴λ=2．
∴S_n=2a_n-2，当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2．
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2（{{a_{n-1}}≠0}）$，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为与首项都为2．
∴a_n=2ⁿ．
（II）证明：b_n=$\frac{1}{{{{log}_2}{a_n}•{{log}_2}{a_{n+2}}}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{{n•（{n+2}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2（n+1）}-$$\frac{1}{2（n+2）}$＜$\frac{3}{4}$，即证．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．