Question

16．已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：不等式：4x²+4（m-2）x+1≥0恒成立．
（1）若命题p为真，求实数m的范围．
（2）若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负根为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}-4＞0\\{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0\end{array}\right.$，解得实数m的范围．
（2）若p∨q为真，p∧q为假，则命题p，q一真一假，分类讨论可得实数m的范围．

解答 解：（1）若命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的负根为真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}△={m}^{2}-4＞0\\{x}_{1}+{x}_{2}=-m＜0\end{array}\right.$，
解得：m＞2       
（2）若命题q：不等式：4x²+4（m-2）x+1≥0恒成立．
则△=16（m-2）²-16≤0，
解得：1≤m≤3，
若p∨q为真，p∧q为假，则命题p，q一真一假，
若p真q假，则m＞3，
若p假q真，则1≤m≤2，
综上可得：1≤m≤2，或m＞3．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了方程根与系数的关系，不等式恒成立问题，复合命题等知识点，难度中档．