Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足b_n=a_n+n+2．
（l）若a₁=1，求S₄．
（2）试判断数列{b_n}是否为等比数列？请说明理由；
（3）若a₁=-3，m，n，p∈N^*，且m+n=2p．试比较S_m+S_n与2S_p的大小，并证明你的结论．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式结合首项逐一求出a₂，a₃，a₄，则S₄可求；
（2）由b_n=a_n+n+2得到b_n+1=a_n+1+（n+1）+2，结合a_n+1=2a_n+（n+1）得到b_n+1=2b_n，然后分a₁=-3和a₁≠-3讨论得答案；
（3）当a₁=-3时，求出数列{a_n}的前n项和，利用作差法证明S_m+S_n≤2S_p．

解答： 解：（1）∵a_n=2a_n-1+n（n≥2且n∈N^*），且a₁=1，
∴a₂=2×1+2=4，a₃=2×4+3=11，a₄=2×11+4=26．
∴S₄=42；
（2）∵b_n=a_n+n+2，
∴b_n+1=a_n+1+（n+1）+2=2a_n+（n+1）+（n+1）+2=2（a_n+n+2）=2b_n．
又∵b₁=a₁+3，
∴当a₁=-3时，b₁=0，此时{b_n}不是等比数列，
当a₁≠-3时，b₁≠0，则

bn+1

bn

=2 (n∈N*)．
故当a₁≠-3时，数列{b_n}是以a₁+3为首项，2为公比的等比数列；
（3）S_m+S_n≤2S_p．
事实上，由（2）知，当a₁=-3时，b₁=0，则a_n=-n-2．
∴{a_n}是以-3为首项，-1为公差的等差数列，
∴Sn=-

1

2

n(n+5)．
∵m，n，p∈N^*，且m+n=2p，
∴S_m+S_n-2S_p=p（p+5）-

1

2

m（m+5）-

1

2

n（n+5）
=

1

4

[(2p)2-2m2-2n2]+

5

2

(2p-m-n)
=

1

4

[(m+n)2-2m2-2n2]=-

1

4

(m-n)2≤0．
∴S_m+S_n≤2S_p．

点评：本题考查数列的递推式，考查了等比关系的确定及等差数列前n项和的求法，训练了利用作差法证明不等式，是中高档题．