Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=

2

，E、F分别为线段PD和BC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°？若存在，试确定G的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）取PA中点为H，连结CE、HE、FH，由已知得ABCD是平行四边形，四边形FCEH是平行四边形，由此能证明CE∥平面PAF．
（2）由已知得CA⊥AD，CA⊥平面PAD，CA⊥PA，建立平面直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出平面PAG和平面PGC所成二面角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：取PA中点为H，连结CE、HE、FH，
∵H、E分别为PA、PD的中点，∴HE∥AD，HE=

1

2

AD，
∵ABCD是平行四边形，且F为线段BC的中点，
∴FC∥AD，EC=

1

2

AD，
∴HE∥FC，HE=FC，四边形FCEH是平行四边形，
∴EC∥HF，又∵CE不包含于平面PAF，HF?平面PAF，
∴CE∥平面PAF．…（4分）
（Ⅱ）解：∵四边形ABCD为平行四边形且∠ACB=90°，
∴CA⊥AD，又由平面PAD⊥平面ABCD，
∴CA⊥平面PAD，∴CA⊥PA
由PA=AD=1，PD=

2

知，PA⊥AD…（5分）
∴建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz
∵PA=BC=1，AB=

2

，∴AC=1，
∴B（1，-1，0），C（1，0，0），P（0，0，1），
假设BC上存在一点G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，
设点G的坐标为（1，a，0），-1≤a≤0，
∴

AG

=(1，a，0)，

AP

=（0，0，1），
设平面PAG的法向量为

m

=（x，y，z），
则

x+ay=0 z=0

，令x=a，y=-1，z=0，∴

m

=（a，-1，0），
又

CG

=（0，b，0），

CP

=（-1，0，1），
设平面PCG的法向量为

n

=（x，y，z），
则

by=0 -x+z=0

，令x=1，y=0，z=1，∴

n

=（1，0，1），…（9分）
∵平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°，
∴|cos＜

m

，

n

＞|=|

a

a2+1 • 2

|=

1

2

，
∴a=±1，又-1≤a≤0，∴a=-1，…（11分）
所以线段BC上存在一点G，
使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小为60°
点G即为B点．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．