Question

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线l：θ=

π

4

与曲线C：

x=t+1 y=(t-1)2

（t为参数）相交于A，B两点．
（1）写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）求线段AB中点的极坐标．B两点，求|AB|的值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由直线l的极坐标直接得到直角坐标方程，进一步转化为参数方程，直角消掉曲线C中的参数t得其直角坐标方程；
（2）联立直线和抛物线方程，求得A，B的坐标，由中点坐标公式求得中点，转化为极坐标，由两点间的距离公式求|AB|．

解答： 解：（1）∵射线l：θ=

π

4

，
∴其直角坐标方程为y=x（x≥0），则射线l的参数方程为

x= 2 2 t y= 2 2 t

(t≥0)，
由曲线C：

x=t+1 y=(t-1)2

，消掉t得：y=（x-2）²；
（2）由

y=x y=(x-2)2

，得

x=1 y=1

，

x=4 y=4

．
令A（1，1），B（4，4）．
则线段AB中点的直角坐标为（

5

2

，

5

2

），极坐标为（

5 2

2

，

π

4

）．
|AB|=

(4-1)2+(4-1)2

=3

2

．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化，考查了参数方程化普通方程，训练了两点间的距离公式的应用，是基础题．