Question

16．若a＞0，b＞0，4a+b=ab．
（Ⅰ）求a+b的最小值；
（Ⅱ）当a+b取得最小值时，a，b的值满足不等式|x-a|+|x-b|≥t²-2t对任意的x∈R恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求a+b的最小值；
（Ⅱ）利用绝对值不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|=3，因为满足不等式|x-a|+|x-b|≥t²-2t对任意的x∈R恒成立，所以3≥t²-2t，即可求t的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为4a+b=ab，∴$\frac{4}{b}+\frac{1}{a}$=1，
所以a+b=（a+b）（$\frac{4}{b}+\frac{1}{a}$）=5+$\frac{4a}{b}$+$\frac{b}{a}$≥5+4=9，
当且仅当$\frac{4a}{b}$=$\frac{b}{a}$时，即b=2a时，a+b有最小值9，由4a+b=ab，可求得此时a=3，b=6；
（Ⅱ）|x-a|+|x-b|≥|a-b|=3，因为满足不等式|x-a|+|x-b|≥t²-2t对任意的x∈R恒成立，所以3≥t²-2t，解得t∈[-1，3]．

点评 本题考查基本不等式的运用，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．