Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．
（3）记cn=

Sn

an

．证明：?r，s∈N^*，且r＜s，都有c_r＜c_s．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在给出的数列递推式中取n=1求得a₁，当n≥2时取n=n-1得另一递推式，作差后两边同时除以2ⁿ得到等差数列{

an

2n

}，求出其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式；
（2）把（1）中求出的数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

，利用对数的运算性质化简，然后利用裂项相消法求和；
（3）把a_n代入cn=

Sn

an

，然后利用作差法证明数列{c_n}为递增数列后得答案．

解答： （1）解：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2  ①
取n=1得，S1=2a1-22+2=a1，即a₁=2．
当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n+2  ②
①-②得，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-2n，
∴an=2an-1+2n，
则

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
又

a1

2

=1，
∴数列{

an

2n

}是首项为1，公差为1的等差数列．
∴

an

2n

=n，
an=n•2n；
（2）解：由（1）得

an

n

=2n，
∴b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．
Tn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

2n

n+1

；
（3）证明：只需证明数列{c_n}为递增数列，
∵cn=

Sn

an

=

2an-2n+1+2

an

=2+

-2n+1+2

n•2n

，
∴cn+1-cn=

-2n+2+2

(n+1)•2n+1

-

-2n+1+2

n•2n

=

2n+1-n-2

n(n+1)•2n

，
∵2n+1=(1+1)n+1＞

C

0 n+1

+

C

1 n+1

=n+2，
∴c_n+1-c_n＞0，
∴c_n+1＞c_n，
∴?r，s∈N^*，且r＜s，都有c_r＜c_s．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，训练了作差法证明数列不等式，是中档题．