Question

20．若对任意x∈（0，$\frac{1}{2}$），恒有4^x＜log_ax（a＞0且a≠1），则实数a的取值范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 对任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），4^x≤log_ax恒成立，化为x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方，
在同一坐标系中，分别画出两个函数的图象，由此求出实数a的取值范围．

解答 解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，函数y=4^x的图象如下图所示：

∵对任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，总有4^x＜log_ax恒成立，
若不等式4^x＜log_ax恒成立，则y=log_ax的图象恒在y=4^x图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log_ax的图象与y=4^x的图象交于（$\frac{1}{2}$，2）点时，
a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虚线所示的y=log_ax的图象对应的底数a应满足$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜1．
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用问题，熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质是解题的关键．