Question

17．已知函数f（x）=ax²-2ax+3-b（a≠0）在[1，3]有最大值5和最小值2，求a、b的值．

Answer 1

分析 f（x）=a（x-1）²+3-a-b．对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：f（x）=a（x-1）²+3-a-b．
①当a＞0时，函数f（x）在[1，3]上单调递增，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a-b=2}\\{f（3）=9a-6a+3-b=5}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{1}{4}$．
②当a＜0时，函数f（x）在[1，3]上单调递减，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=3-a-b=5}\\{f（3）=9a-6a+3-b=2}\end{array}\right.$，解得a=$-\frac{3}{4}$，b=$-\frac{5}{4}$．
综上，a=$\frac{3}{4}$，b=$\frac{1}{4}$或a=$-\frac{3}{4}$，b=$-\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．