Question

19．若f（x）是定义在实数集上的奇函数．且当x＞0时恒有f（x）+xf′（x）＞0，则（　　）

• A． -2f（-2）＜-ef（-e）＜3f（3）
• B． -ef（-e）＜-2f（-2）＜3f（3）
• C． 3f（3）＜-ef（-e）＜-2f（-2）
• D． -2f（-2）＜3f（3）＜-ef（-e）

Answer 1

分析 由已知可构造函数g（x）=xf（x），求其导函数，可得g（x）=xf（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（-∞，0）上为减函数．然后由g（-3）＞g（-e）＞g（-2）得答案．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（-x）=-f（x）
令g（x）=xf（x），
∴g（-x）=g（x）是定义在R上的偶函数，
又当当x＞0时恒有f（x）+xf′（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）=xf（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（-∞，0）上为减函数．
∴g（-3）＞g（-e）＞g（-2），即g（3）＞g（-e）＞g（-2），
∴3f（3）＞-ef（-e）＞-2f（-2），即-2f（-2）＜-ef（-e）＜3f（3）．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法，是中档题．