Question

20．在△ABC中，cosB=-$\frac{5}{13}$，sinC=$\frac{4}{5}$．
（1）求cosA的值；
（2）设AC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．
（2）利用正弦定理求出A的直线函数值，利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）由cosB=-$\frac{5}{13}$，得sinB=$\frac{12}{13}$．
因为cosB=-$\frac{5}{13}$＜0，所以B为钝角，所以C为锐角．
由sinC=$\frac{4}{5}$，得cosC=$\frac{3}{5}$，
所以cosA=-cos（B+C）=-cosBcosC+sinBsinC=$\frac{63}{65}$．
（2）由正弦定理得AB=$\frac{ACsinC}{sinB}$=$\frac{5×\frac{4}{5}}{\frac{12}{13}}$=$\frac{13}{3}$，
sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{16}{65}$，
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}AC•AB•sinA$=$\frac{1}{2}×5×\frac{13}{3}×\frac{16}{65}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查三角形的解法计算能力．