Question

3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），曲线C₂的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ-$\frac{π}{4}$，θ=φ+$\frac{π}{2}$，与曲线C₁分别交异于极点O的四点A、B、C、D．
（Ⅰ）若曲线C₁关于曲线C₂对称，求a的值，并把曲线C₁和曲线C₂化成直角坐标方程；
（Ⅱ）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：${ρ^2}=2\sqrt{2}ρ（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ}）=2ρsinθ+2ρcosθ$，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C₂的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C₁关于曲线C₂对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．
（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲线C₁的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：${ρ^2}=2\sqrt{2}ρ（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}sinθ+\frac{{\sqrt{2}}}{2}cosθ}）=2ρsinθ+2ρcosθ$，
化为直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2．
把C₂的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C₁关于曲线C₂对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，
故C₂的直角坐标方程为y=1．
（Ⅱ）由题意可得，$|{OA}|=2\sqrt{2}sin（{φ+\frac{π}{4}}）$，$|{OB}|=2\sqrt{2}sin（{φ+\frac{π}{2}}）=2\sqrt{2}cosφ$，$|{OC}|=2\sqrt{2}sinφ$，$|{OD}|=2\sqrt{2}sin（{φ+\frac{3π}{4}}）=2\sqrt{2}cos（{φ+\frac{π}{4}}）$，$|{OA}|•|{OC}|+|{OB}|•|{OD}|=8sin（{φ+\frac{π}{4}}）sinφ+8cos（{φ+\frac{π}{4}}）cosφ=8cos\frac{π}{4}=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．