Question

8．在直角坐标系xOy中，曲线C上的点M满足：M到原点的距离与M到直线y=-p（p＞0）的距离之比为常数e（e＞0），直线l：ρ=$\frac{4}{cosθ-2sinθ}$
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）当e=1，p=1时，M，N分别为曲线C与直线l上的两动点，求|MN|的最小值及此时M点的坐标．

Answer 1

分析 （I）设点M的极坐标为M（ρ，θ），由题意可得：$\frac{ρ}{ρsinθ+p}$=e，可得曲线C的极坐标方程为：$ρ=\frac{ep}{1-esinθ}$，对e分类讨论即可得出．
（II）由e=1，p=1得：曲线C的极坐标方程为ρ-ρsinθ=1，化成直角坐标方程：x²=2y+1．直线l：ρ=$\frac{4}{cosθ-2sinθ}$，把y=ρsinθ，x=ρcosθ代入化为直角坐标方程．点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，设M（x₀，y₀）．|MN|的最小值就是M到l的距离最小值，利用点到直线的距离公式及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（I）设点M的极坐标为M（ρ，θ），由题意可得：$\frac{ρ}{ρsinθ+p}$=e，
∴曲线C的极坐标方程为：$ρ=\frac{ep}{1-esinθ}$，
若0＜e＜1时，曲线C是椭圆；
若e=1时，曲线C是抛物线；
若e＞1时，曲线C是双曲线．
（II）由e=1，p=1得：曲线C的极坐标方程为ρ-ρsinθ=1，可得ρ=y+1，两边平方可得：ρ²=x²+y²=y²+2y+1，
化成直角坐标方程：x²=2y+1．
直线l：ρ=$\frac{4}{cosθ-2sinθ}$的直角坐标方程为x-2y-4=0，
点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，设M（x₀，y₀）．
|MN|的最小值就是M到l的距离最小值，
∴|MN|_min=$\frac{|{x}_{0}-2{y}_{0}-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|{x}_{0}^{2}-{x}_{0}+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{（{x}_{0}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{11}{4}}{\sqrt{5}}$$≥\frac{11\sqrt{5}}{20}$，
当${x}_{0}=\frac{1}{2}$时，取“=”．
∴|MN|的最小值为$\frac{11\sqrt{5}}{20}$，此时M点的坐标为M$（\frac{1}{2}，-\frac{3}{8}）$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．