题目内容
11．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$）（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）是直线l上位于圆内的动点（含端点），求$\sqrt{3}$x+y的最大值和最小值．
分析 （I）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），展开可得：ρ2=4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．
（II）圆C的标准方程为：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4．设z=$\sqrt{3}$x+y．把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入z=$\sqrt{3}$x+y，可得：z=2$\sqrt{3}$-t，由于直线l经过圆心，kd 点P对应的参数满足-2≤t≤2即可得出．
解答 解：（I）圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-$\frac{π}{3}$），展开可得：ρ2=4$（\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，
可得直角坐标方程：x2+y2-2x-2$\sqrt{3}$y=0．
（II）圆C的标准方程为：$（x-1）^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}$=4，圆心C$（1，\sqrt{3}）$，半径r=2．设z=$\sqrt{3}$x+y．
把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入z=$\sqrt{3}$x+y，可得：z=2$\sqrt{3}$-t，
由于直线l经过圆心，
∴点P对应的参数满足-2≤t≤2．
∴$2\sqrt{3}$-2≤$2\sqrt{3}$-t≤2$\sqrt{3}$+2．
即$\sqrt{3}$x+y的最大值和最小值分别为$2\sqrt{3}$+2；2$\sqrt{3}$-2．
点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
如图，AB是圆O的直径，点D是弦BC的中点，直线AD交圆O于点E，过点E作EF⊥BC于点H，交圆O于点F，交AB于点I，若OF⊥AB．