Question

13．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$，其渐近线与圆（x-6）²+y²=16相切，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，化为一般式，运用直线和圆相切的条件：d=r，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为
y=±$\frac{b}{a}$x，即为bx±ay=0，
由渐近线与圆（x-6）²+y²=16相切，可得：
$\frac{6b}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=4，
可得b=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查渐近线方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．