Question

5．已知A={（x，y）|ax+by=1}，B={（x，y）|x≥0，y≥1，x+y≤2}，若A∩B≠∅恒成立，则a²+b²+2a+3b的取值范围是$[\frac{3}{4}，+∞）$．

Answer 1

分析 如图所示，集合B表示的图形如△ABC．若A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{b-1＞0}\\{2b-1＞0}\\{a+b-1＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{2b-1＜0}\\{a+b-1＜0}\end{array}\right.$，作出可行域如图．利用补集的思想可得：由于A∩B≠∅恒成立，则表示的点集为去掉虚线表示的部分，由于（a+1）²+$（b+\frac{3}{2}）^{2}$表示点$（-1，-\frac{3}{2}）$与上述点集的点之间的两点之间的距离的平方，即可得出．．

解答 解：如图1所示，集合B表示的图形如△ABC．
若A∩B=∅，则$\left\{\begin{array}{l}{b-1＞0}\\{2b-1＞0}\\{a+b-1＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{b-1＜0}\\{2b-1＜0}\\{a+b-1＜0}\end{array}\right.$，．
作出可行域如图2，
利用补集的思想可得：由于A∩B≠∅恒成立，则表示的点集为去掉虚线表示的部分，
由于（a+1）²+$（b+\frac{3}{2}）^{2}$表示点$（-1，-\frac{3}{2}）$与上述点集的点之间的两点之间的距离的平方．
∴a²+b²+2a+3b=（a-1）²+$（b+\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{13}{4}$≥（1-1）²+$（\frac{1}{2}+\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{13}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故答案为：$[\frac{3}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了不等式的解法、集合运算性质、线性规划的有关知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．