Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-5x+12，x≥2}\end{array}\right.$，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则c+d=10，a+b+c+d的取值范围是（12，$\frac{25}{2}$）．

Answer 1

分析 根据图象可判断：$\frac{1}{2}$＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，二次函数的对称轴为x=5，可得c+d=10，利用f（a）=f（b），可得ab=1，a=$\frac{1}{b}$，从而a+b=$\frac{1}{b}$+b∈（2，$\frac{5}{2}$），即可求出答案

解答 解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞
根据图象可判断：$\frac{1}{2}$＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，
二次函数的对称轴为x=5，∴c+d=10
∵f（a）=f（b），∴-4log₂a=4log₂b，∴ab=1，∴a=$\frac{1}{b}$，
∴a+b=$\frac{1}{b}$+b∈（2，$\frac{5}{2}$），
∴a+b+c+d∈（12，$\frac{25}{2}$）．
故答案为：10，（12，$\frac{25}{2}$）．

点评 本题综合考查了函数图象的运用，求解两个图象的交点问题，运用动的观点解决，理解好题意是解题关键．