Question

设△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对边的长分别是a，b，c，且b=2c，∠A=2∠B．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为

15

，求a的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）因为A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，再由余弦定理，正弦定理，即可得到a，b，c的关系，代入数据，即可得到A；
（2）运用三角形的面积公式，计算得到c，由（1）的结论即可得到a．

解答： 解：（1）因为A=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

sinA

2sinB

，
所以由正弦定理可得a=2b•

a2+c2-b2

2ac

，
因为b=2c，则a=2c•

a2+c2-4c2

ac

，则a=

6

c，
则cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4c2+c2-6c2

4c2

=-

1

4

；
（2）△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

•2c2•

1- 1 16

=

15

，
解得，c=2．则a=2

6

．

点评：本题考查二倍角的正弦和余弦公式的运用，考查正弦定理和余弦定理，以及三角形面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．