Question

12．用分析法证明：已知a，b∈R且a≠b，则$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{{b}^{2}+1}|＜|a-b|$．

Answer 1

分析 寻找使：$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{{b}^{2}+1}|＜|a-b|$成立的充分条件，直到使不等式成立的条件显然具备．

解答 证明：要证明$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{{b}^{2}+1}|＜|a-b|$
只要证明|$\frac{（b-a）（b+a）}{（{a}^{2}+1）（{b}^{2}+1）}$|＜|a-b|，而a，b∈R且a≠b，
故把|a-b|约分，只要证明|$\frac{b+a}{（{a}^{2}+1）（{b}^{2}+1）}$|＜1
即证|a+b|＜（a²+1）（b²+1）
显然a和b同号时|a+b|较大，所以不妨设a＞0，b＞0
只要证明a+b＜a²b²+a²+b²+1
因为a²-a+$\frac{1}{4}$=（a-$\frac{1}{2}$）²，b²-b+$\frac{1}{4}$=（b-$\frac{1}{2}$）²，
所以a²-a+b²-b+1＞0 a²b²≥0
所以a＞0，b＞0时，a+b＜a²b²+a²+b²+1成立．
故$|\frac{1}{{a}^{2}+1}-\frac{1}{{b}^{2}+1}|＜|a-b|$．

点评 本题主要考查用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．