Question

3．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，边DC（包含点D、C）的动点P与CB延长线上（包含点B）的动点Q满足|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{BQ}$|，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$的取值范围是$[\frac{3}{4}，3]$．

Answer 1

分析 如图所示，设P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，-2≤y≤0）．由于|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{BQ}$|，可得|x|=|y|，x=-y．可得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=x²-2x-y+1=x²-x+1，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
设P（x，1），Q（2，y）（0≤x≤2，-2≤y≤0）．
∵|$\overrightarrow{DP}$|=|$\overrightarrow{BQ}$|，
∴|x|=|y|，∴x=-y．
∵$\overrightarrow{PA}$=（-x，-1），$\overrightarrow{PQ}$=（2-x，y-1），
则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$=-x（2-x）-（y-1）
=x²-2x-y+1
=x²-x+1
=$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}$=f（x），
∴当x=$\frac{1}{2}$时，则f（x）取得最小值$\frac{3}{4}$．
又f（0）=1，f（2）=3，
∴f（x）的最大值为3．
∴则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PQ}$的取值范围是$[\frac{3}{4}，3]$．
故答案为：$[\frac{3}{4}，3]$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．