Question

12．已知a＞0，b＞0若不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{b}$≤0，恒成立，则m的最大值为16．

Answer 1

分析 不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{b}$≤0恒成立，即为m≤（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$），（a，b＞0），将右边的式子化简，再由基本不等式可得最小值，进而得到m的范围，即有m的最大值．

解答 解：不等式$\frac{m}{3a+b}$-$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{b}$≤0恒成立，即为
m≤（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$），（a，b＞0），
由（3a+b）（$\frac{3}{a}$+$\frac{1}{b}$）=10+$\frac{3a}{b}$+$\frac{3b}{a}$≥10+2$\sqrt{\frac{3a}{b}•\frac{3b}{a}}$=16，
当且仅当$\frac{3a}{b}$=$\frac{3b}{a}$，即a=b时，取得等号．
即有m≤16．
则m的最大值为16．
故答案为：16．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题和易错题．