Question

3．已知三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=1，AB=2，N为AB上一点，AB=4AN，点M、S分别为PB、BC的中点，则SN与平面CMN所成角的大小为45°．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，利用向量法求直线和平面所成的角．

解答 解：以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．则C（0，1，0），M（1，0，$\frac{1}{2}$），N（$\frac{1}{2}$，0，0），S（1，$\frac{1}{2}$，0），
$\overrightarrow{SN}$=（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面CMN的法向量，
∵$\overrightarrow{CM}$=（1，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{CN}$=（$\frac{1}{2}$，-1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\frac{z}{2}=0}\\{\frac{x}{2}-y=0}\end{array}\right.$
∴可得平面CMN的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
设直线SN与平面CMN所成角为θ，
∵sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SN}$，$\overrightarrow{a}$＞|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴SN与平面CMN所成角为45°．
故答案为：45°．

点评 本题主要考查直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．