题目内容

1.若函数f(x)=(x2+bx+b)$\sqrt{1-2x}$(b∈R)在区间(0,$\frac{1}{3}$)上单调递增,则b的取值范围为(  )
A.(-∞,$\frac{1}{9}$]B.[$\frac{1}{9}$,+∞)C.(-∞,$\frac{1}{9}$)D.($\frac{1}{9}$,+∞)

分析 求出原函数的导函数,由导函数在区间(0,$\frac{1}{3}$)上大于等于0恒成立,得到b≤$\frac{2-5x}{3}$对任意x∈(0,$\frac{1}{3}$)恒成立.由单调性求出$\frac{2-5x}{3}$的范围得答案.

解答 解:由f(x)=(x2+bx+b)$\sqrt{1-2x}$,得:f′(x)=$\frac{-5{x}^{2}-3bx+2x}{\sqrt{1-2x}}$.
由f(x)在区间(0,$\frac{1}{3}$)上单调递增,
得f′(x)≥0对任意x∈(0,$\frac{1}{3}$)恒成立.
即-5x2-3bx+2x≥0对任意x∈(0,$\frac{1}{3}$)恒成立.
∴b≤$\frac{2-5x}{3}$对任意x∈(0,$\frac{1}{3}$)恒成立.
∵$\frac{2-5x}{3}$>$\frac{2-5×\frac{1}{3}}{3}$=$\frac{1}{9}$.
∴b≤$\frac{1}{9}$.
∴b的取值范围是(-∞,$\frac{1}{9}$],
故选:A.

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数学转化思想方法,是中档题.

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