Question

已知动点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数,记的轨迹为曲线.
（I）求曲线的方程；
（II）设直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为,试问：当变化时，直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

（I）；（II）对于任意的，直线与轴交于定点．

试题分析：（I）找出题中的相等关系，列出，化简即得曲线的方程；（II）将直线方程代入曲线方程，消去得，记，则，且.特别地，令，则.此时，直线与轴的交点为．若直线与轴交于一个定点，则定点只能为．再证明对于任意的，直线与轴交于定点，可利用直线的两点式方程结合分析法．
试题解析：（I）设是点到直线的距离,根据题意,点的轨迹就是集合
  
由此得       
将上式两边平方,并化简得
即，所以曲线的方程为   
（II）由得，即.  
记，
则，且.
特别地，令，则.
此时，直线与轴的交点为． 
若直线与轴交于一个定点，则定点只能为．
以下证明对于任意的，直线与轴交于定点．
事实上，经过点的直线方程为.
令，得只需证，   
即证，即证.
因为，
所以成立．
这说明，当变化时，直线与轴交于定点．  …