Question

如图,已知曲线,曲线,P是平面上一点,若存在过点P的直线与都有公共点,则称P为“C₁—C₂型点”.

(1)在正确证明的左焦点是“C₁—C₂型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与有公共点,求证,进而证明原点不是“C₁—C₂型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C₁—C₂型点”.

Answer 1

(1) C₁的左焦点为“C₁-C₂型点”,且直线可以为;
(2)直线至多与曲线C₁和C₂中的一条有交点,即原点不是“C₁-C₂型点”.
(3)直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C₁和C₂有交点,
即圆内的点都不是“C₁-C₂型点”.

试题分析：
思路分析：(1)紧扣“C₁-C₂型点”的定义，确定C₁的左焦点为“C₁-C₂型点”,且直线可以为;
(2)通过研究直线与C₂有交点的条件，分别得到和 ，不可能同时成立，得到结论：直线至多与曲线C₁和C₂中的一条有交点,即原点不是“C₁-C₂型点”.
(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C₁有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C₂交于点,则
 
根据直线与圆内部有交点,得到 
化简得,............①
再根据直线与曲线C₁有交点, 由方程组
 
化简得,.....②
由①②得, 
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立 ，得出结论。
解：(1)C₁的左焦点为,过F的直线与C₁交于,与C₂交于,故C₁的左焦点为“C₁-C₂型点”,且直线可以为;
(2)直线与C₂有交点,
则,若方程组有解,则必须;
直线与C₂有交点,则
,若方程组有解,则必须 
故直线至多与曲线C₁和C₂中的一条有交点,即原点不是“C₁-C₂型点”.
(3)显然过圆内一点的直线若与曲线C₁有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C₂交于点,则
 
直线与圆内部有交点,故 
化简得,............①
若直线与曲线C₁有交点,则
 
 
化简得,.....②
由①②得, 
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C₁和C₂有交点,
即圆内的点都不是“C₁-C₂型点”.
点评：难题，本题综合性较强，综合考查直线与圆、双曲线的位置关系以及不等式问题。从思路方面讲，要紧扣“C₁-C₂型点”的定义，研究方程组解的情况。