Question

已知动点到定点和的距离之和为.
（Ⅰ）求动点轨迹的方程；
（Ⅱ）设，过点作直线，交椭圆异于的两点，直线的斜率分别为，证明：为定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查椭圆的基本量间的关系及韦达定理的应用.第一问是考查椭圆的基本量间的关系，比较简单；第二问是直线与椭圆相交于两点，先设出两点坐标，本题的突破口是在消参后的方程中找出两根之和、两根之积，整理斜率的表达式，但是在本问中需考虑直线的斜率是否存在，此题中蕴含了分类讨论的思想的应用.
试题解析：（Ⅰ）由椭圆定义，可知点的轨迹是以为焦点，以为长轴长的椭圆．
由，得．故曲线的方程为．        5分
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设其方程为，
由，得．     7分
设，，，．
从而．                                                                                 11分
当直线的斜率不存在时，得，
得．
综上，恒有．                                              12分