Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-

3

cos2x．
（Ⅰ）求f（0）的值及函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f(x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)，得f(0)=-

3

．从而求出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）由-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．得出当x=0时，f（x）取得最小值，x=

5π

12

时，f（x）取得最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)
∴f(0)=-

3

．
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，
∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
∴当2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0时，f（x）取得最小值-

3

；
当2x-

π

3

=

π

2

即x=

5π

12

时，f（x）取得最大值2．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，三角函数的应用，是一道综合题．